Заказ №762213 , алгебра2

1. Выяснить, можно ли в линейном пространстве   определить скалярное произведение формулой:  .

2. Для векторов х = (1, i, 2, i), y = (1 – i, 1 + i, 2i, 3) унитарного пространства   найти скалярное произведение (х,у) и длины векторов х, у.

3. Найти угол между векторами (2, -1, 3, -2) и (3, 1, 5, 1) евклидова пространства  .

4. Найти матрицу Грама системы векторов (1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 3, 4), вычислить ее определитель Грама и определить, будет ли эта система векторов линейно независима.

5. Убедиться, что векторы (1, -2, 2, -3) и (2, -3, 2, 4) ортогональны, дополнить их до ортогонального базиса евклидова пространства   и нормировать векторы полученного базиса.

6. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, порожденного векторами (1, 2, 2, -1), (1, 1, -5, 3), (3, 2, 8,-7).

7. Найти базис ортогонального дополнения к подпространству, порожденному векторами (1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 3) и (0, 1, -2, 1).

8. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора (4, -1, -3, 4) относительно подпространства, порожденного векторами (1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, -1), (1, 0, 0, 3).

9. Пусть А – линейное отображение пространства   в  , заданное в бази-сах (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1) и (1, 2), (0, 1) матрицей  . Найти матрицу сопряженного отображения в базисах (1, 2), (0, 1) и (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1).

10. Пусть линейный оператор А пространства   имеет в базисе (1, 2, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 0) матрицу  . Найти матрицу сопряженного оператора в том же базисе.

11. Пусть линейный оператор А унитарного пространства   задан матрицей   в стандартном базисе. Убедиться, что А является нормальным оператором, найти его собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов.

12. Найти собственные значения и ортонормированный базис из собственных векторов для самосопряженного оператора пространства  , заданного в стандартном базисе матрицей  . Найти спектральное разложение этой матрицы.