Основы математического моделирования эко

Задание № 1. Рассмотрим три отрасли промышленности: I, II, III, каждая из которых производит свой однородный продукт и для обеспечения производства нуждается в продукции других отраслей. Процесс производства рассматривается за определенный период времени (например, за год). Взаимодействие отраслей определяется матрицей А прямых затрат. Число аij, стоящее на пересечении i-й строки и j-го столбца, равно , где xij – поток средств производства из i-й отрасли в j-ю, а xj – валовой объем продукции j-й отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости). Задан вектор объемов продуктов конечного потребления.
, .
а) определить, является ли матрица А продуктивной;
б) составить уравнение межотраслевого баланса;
в) найти объемы валовой продукции каждой отрасли . Расчеты рекомендуется производить с точностью до двух знаков после запятой;
г) составить матрицу потоков средств производства (xij);
д) найти объемы валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличится на 60, 70, 30 соответственно.
Задание № 2. Организации, занимающейся перевозкой и продажей продукции, необходимо перевезти партию товара. При этом можно арендовать для перевозки по железной дороге 5- и 7-тонные контейнеры. Пятитонных контейнеров имеется в наличии не более 24 штук, а семитонных – не более 33 штук. На перевозку всей продукции по смете выделено не более 120 тысяч рублей, причем цена за аренду пятитонного контейнера – 2 тыс. рублей, а семитонного – 3 тыс. рублей. Определить, сколько и каких контейнеров следует арендовать, чтобы общий объем грузоперевозок был максимальным.
Решение задачи оформить поэтапно:
1) построить математическую модель задачи;
2) решить задачу линейного программирования с использованием графического метода.
Задание № 3. Некоторая фирма выпускает четыре вида (различной) продукции, используя четыре вида сырья. В таблице указаны:
 технологические коэффициенты аij, которые показывают, сколько единиц i-го вида сырья требуется для производства одной единицы j-го вида продукции;
 прибыль сj, получаемая от производства j-го вида продукции (в нижней строке таблицы);
 запасы сырья в планируемый период (в тех же единицах).
Составить такой план выпуска продукции, при котором будет обеспечена максимальная прибыль.
Решение задачи оформить поэтапно:
1) составить математическую модель задачи;
2) привести задачу к каноническому виду, пояснить экономический смысл дополнительных переменных;
3) решить задачу симплекс-методом;
4) определить количество неизрасходованного сырья при найденном оптимальном плане;
5) построить двойственную задачу, решить ее;
6) дать экономический анализ двойственной задачи, оценить целесообразность введения в план нового вида продукции, если затраты на производство этой продукции и получаемая прибыль заданы в последней графе таблицы.
Виды
продукции
Виды сырья Технологические коэффициенты аij Запасы
сырья Новый вид
продукции
A B C D  
I 1,5 0,5 0,1 0 150 3
II 0 2,5 2,5 1 500 0
III 2,5 3 5 1 300 1
IV 2,5 2 0 1 100 2
Прибыль сj 3 5 5 4  3
Задание № 4. В двух пунктах отправления А1 и А2 находятся соответственно 150 и 90 т горючего. В пункты В1, В2, В3 требуется доставить соответственно 60, 70, 110 т горючего. Стоимость перевозки 1 т горючего определяется в условных единицах и задана в матрице:
.
Составить оптимальный план перевозок горючего, чтобы общая сумма транспортных расходов была минимальной.
Задание № 5. Свести матричную игру к задаче линейного программирования:
.
Задание № 6. Одно из транспортных предприятий должно определить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги неизвестен, но ожидается, что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги.
В таблице указаны возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей.
Варианты провозных возможностей транспортного предприятия Варианты спроса на транспортные услуги
1 2 3 4
1 6 12 20 24
2 9 7 9 28
3 23 18 15 19
4 27 24 21 15
Выбрать оптимальную стратегию, используя критерии Вальде, Сэвиджа и Гурвица, при λ = 0,5. Сравните решения и сделайте выводы.