Алгебра ДВФУ
ДВФУ Вар 16 (есть другие варианты)
КР1
1) Найдите каноническое представление числа:
а) 29032549; б) 32!.
2) Найдите наибольший общий делитель систем чисел:
а) 192329 и 21627 (по алгоритму Евклида);
б) 203093, 33660 и 110110 (через каноническое представление).
3) Найдите наименьшее общее кратное систем чисел:
а) 284 и 532 (по формуле);
б) 25, 35, 45 и 15 (через каноническое представление чисел).
4) Найдите число делителей, сумму делителей и значение функции Эйлера для числа n = 12400.
5) Составить таблицы сложения и умножения по модулю 9.
6) Найти все трехзначные числа, каждая цифра которых является их простым делителем.
7) Решите сравнение:
а) , б) .
8) Решите систему сравнений:
9) Докажите, что при любом натуральном n число делится на 7.
10) Докажите, что если число делится на 99, то сумма его цифр не менее 18.
КР2
1) Вычислите: а) ; б) .
2) Найдите, при каких комплексных значениях k уравнение имеет разные корни.
3) Вычислите, используя тригонометрическую форму записи комплексного числа:
а) ; б)
4) Решите уравнения: а) , б) .
5) Докажите, что .
6) Изобразите на плоскости множество всех точек, для которых .
7) Выразите через .
8) Найдите сумму: .
КР3
1) Разложите многочлен на множители.
2) Найдите наибольший общий делитель двух многочленов и его линейное представление: и .
3) Отделите кратные множители:
4) Решите уравнение 3 степени: .
5) Решите уравнение 4 степени: .
6) Для многочлена определите кратность корня с=-1.
7) Разложите многочлен по степеням .
8) Найдите многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий тройной корень 7-i, двойной корень 5-i, простые корни i и 2.
9) При каком условии делится на ?
10) Запишите в лексикографическом виде: .
11) Выразите через элементарные симметрические многочлены: .
12) Представьте в виде суммы простейших дробей над полем действительных чисел: .
КР4
1) Как изменится определитель n-го порядка, если i-ую строку переставить на последнее место, а (i+1)-ю и все последующие строки передвинуть вверх, сохраняя их расположение?
2) Выполните умножение подстановок:
3) Вычислите определители:
а) б) .
4) Вычислите определитель, пользуясь теоремой Лапласа:
5) Вычислите определители:
а) б) .
6) Вычислите определитель, применяя метод рекуррентных соотношений:.
7) Найдите все матрицы второго порядка, кубы которых равны нулевой матрице.
8) Вычислите:
9) а) ; б) ; в) .
10) Решите матричное уравнение:
КР5.
Задание 1. Показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Задание 2. Даны два базиса пространства строк: и . Найти:
а) матрицу А перехода от базиса к базису ;
б) матрицу обратного перехода;
в) координаты в обоих базисах;
г) координаты вектора в базисе , имеющего во втором базисе координаты (1, 1, 1).
Задание 3. Применить процесс ортогонализации к системе векторов.
Задание 4. Решить систему линейных уравнений: 1) методом Гаусса; 2) по формулам Крамера; 3) матричным методом.
Задание 5. Исследовать совместность данной системы и, в случае ее совместности, найти общее решение и одно частное решение.
Задание 6. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и фундаментальную систему решений.
Задание 7. Привести квадратичную форму к каноническому виду при помощи невырожденного линейного преобразования неизвестных. Найти невырожденное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.
Задание 8. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие формы к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид.
Задание 9. Построить канонический базис и найти каноническую форму Жордана следующих матриц.