Высш мат

«МАТЕМАТИКА»
Вариант № 5

Задание 1 (5 баллов).
Даны матрицы:  ;       ;      
Выполнить, если возможно, следующие действия: 1)  ;  2)  ; 3)  ;  4)  .
Задание 2 (10 баллов).
Вычислить определители:
а)  ; б)  ; в)  .
Задание 3 (8 баллов).
Решить систему уравнений методом Крамера:  
Задание 4 (10 баллов).
Решить систему уравнений методом Гаусса:  . Найти общее решение системы и любое частное решение.
Задание 5 (15 баллов).
Даны векторы  ,   и  .
1) Найти длины векторов   и  . 2) Координаты вектора   и его длину. 3) Найти скалярное произведение векторов   и  ,   и  . 4) Найти векторное произведение векторов   и  ,   и  . 5) Найти смешанное произведение векторов  ,   и  .
Задание 6 (12 баллов).
Даны точки  .
1) Найти внутренний угол при вершине В. 2) Вычислить площадь треугольника АВС. 3) Найти длину стороны АC. 4) Найти длину высоты AH.
Задание 7 (12 баллов).
Даны вершины четыре точки  .
1) Доказать, что они не лежат в одной плоскости. 2) Найти объем пирамиды. 3) Найти длину высоты, опущенной на грань АВС .
Задание 8 (12 баллов).
Найти производные и дифференциалы следующих функций:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  .
Задание 9 (4 балла).
Найти  , если  .

Задание 10 (12 баллов).
1) Найти интервалы возрастания и убывания функции  .
2) Исследовать функцию   и построить ее график.

Вариант № 12

Задание 1 (5 баллов).
Даны матрицы:  ;       ;      
Выполнить, если возможно, следующие действия: 1)  ;  2)  ; 3)  ;  4)  .
Задание 2 (10 баллов).
Вычислить определители:
а)  ; б)  ; в)  .
Задание 3 (8 баллов).
Решить систему уравнений методом Крамера:  
Задание 4 (10 баллов).
Решить систему уравнений методом Гаусса:  
Задание 5 (15 баллов).
Даны векторы  ,   и  .
1) Найти длины векторов   и  . 2) Координаты вектора   и его длину. 3) Найти скалярное произведение векторов   и  ,   и  . 4) Найти векторное произведение векторов   и  ,   и  . 5) Найти смешанное произведение векторов  ,   и  .
Задание 6 (12 баллов).
Даны точки  .
1) Найти внутренний угол при вершине А. 2) Вычислить площадь треугольника АВС. 3) Найти длину стороны АC. 4) Найти длину высоты ВH.
Задание 7 (12 баллов).
Даны точки А(-5;1;1), В(1;-2;-2), С(1;-1;-3) и Д(-1;-4;-1).
1) Доказать, что они не лежат в одной плоскости. 2) Найти объем тетраэдра. 3) Найти длину тетраэдра АН.
Задание 8 (12 баллов).
Найти производные и дифференциалы следующих функций:
а)  ; б)  ; в)  ; г)  .
Задание 9 (4 балла).
Найти  , если  .

Задание 10 (12 баллов).
1) Найти точки перегиба графика функции  .
2) Исследовать функцию   и построить ее график.