MatCad

Вариант 14

Задача №1
При  заданных  пяти  вариантах  допустимой  ошибки  с  помощью требуемого численного метода вычислить приближенное значение корня  функционального  уравнения  вида  f  (x) = 0, если  известно,  что  это уравнение имеет единственный корень на отрезке [a, b].
В решении должен быть построен график функции  f (x) на отрезке [a, b].
Номер
варианта
    Левая часть уравнения f (x)=0    Область,  
содержащая
единственный
корень
    Вариант
допустимой
ошибки
    Вариант
численного
метода

14         [1;2]    2    4
        при n = 5    1•10–1; 1•10–2; 1•10–3; 1•10–4; 1•10–5    метод хорд

1. Строим график функции f (x) на отрезке [1; 2].


Как видно на этом промежутке функция имеет 1 корень.
2. Найдем первую и вторую производную функции.


Назначим концы отрезка границами интервала поиска

Рассчитаем значения функции и ее первой и второй производных для выяснения «неподвижной» точки.

Т.к. первая и вторая производные на заданном отрезке отрицательны то на этом отрезке функция монотонно убывает

Т.к. условие f(x)*f2(x) >0 выполняется только для правой границы b, то «неподвижной» будет точка b=2, а начальное значение х0=а=1. Расчет  очередного приближенного значения будет производиться по формуле

Расчет оканчиваем, когда модуль разницы между двумя соседними значениями превысит заданное значение погрешности , т.е. когда

3. Пусть искомое значение  будет равно

При значении заданного  меньше чем искомого поиск продолжаем (истина=1, ложь=0), при превышении поиск останавливаем


Начальные значения

После первого шага итерации

Продолжаем поиск


Таким образом при =0.1, результат получаем при n=1, x*=x2=1.238
Продолжаем поиск при =0.01



Искомое значение найдено при n=2, x*=x3=1.239, для =0.001 и  этот =0.0001 же результат.
Продолжаем поиск при =0.00001.

Искомое значение достигнуто при n=4, x*=x5=1.239
Проверим найденное значение параметра функции с помощью встроенной функции, для чего нам понадобится начальное значение.


Задача №2
Реализовать методы простой итерации и Ньютона решения систем нелинейных  уравнений  в  виде  программного  кода,  задавая  в  качестве входных  данных  точность  вычислений.  С  использованием  пакета MathCad решить систему нелинейных уравнений (при наличии нескольких решений найти то из них, в котором значения неизвестных являются  положительными);  начальное  приближение  определить  графически.
Проанализировать зависимость погрешности вычислений от количества итераций.  
Номер
варианта    Значение
параметра
a
    Система уравнений
14    3    

Зададим условие задачи

Зададим начальное условие и применим встроенную функцию

Зададим другое начальное условие и применим встроенную функцию

Другие пары начальных условий дают уже найденные пары решений


Решение системы нелинейных уравнений
Пара х1=1.118; х2=1.392 и х1=-2.521; х2=-0.813.



Задача № 3
Используя  аналитическое  задание  функции  y =f(x),  вычислить таблицу ее значений Yi в точках   Xi, i = 0,...,3  для каждой задачи. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа (подзадача a) и Ньютона (подзадача  b),  проходящие  через  эти  точки , {XiYi} .   Вычислить значение погрешности интерполяции в точке X*.



Зададим исходные данные для подзадачи а.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.

Построим график получившегося многочлена Лагранжа и точками обозначим исходные данные

Вычислим погрешность в точке Х1



Зададим исходные данные для подзадачи б.

Построим интерполяционный многочлен Ньютона.

Построим график получившегося многочлена Ньютона и точками обозначим исходные данные

Вычислим погрешность в точке Х1




Задача №4
Вычислить  определенный  интеграл  с  точностью  ε=10-4 . Сравнить результаты, полученные различными методами.


Зададим исходные данные

Подготовим схему численного вычисления интеграла с учетом исходно заданной погрешности

По формуле средних прямоугольников

По формуле Симпсона

Проверим встроенной функцией

Как видим при заданной погрешности все значения одинаковы

Задача № 5
Решить  заданные  дифференциальные  уравнения  на  указанном  отрезке  методами  Эйлера,  Рунге-Кутты  и  Адамса 4-го  порядка,  задавая соответствующий варианту шаг сетки  h . Оценить погрешность численного решения с использованием метода Рунге – Ромберга и путем сравнения с точным решением.  
№    Задача Коши      Точное решение
14