Теория массового обслуживания

3. Среднее число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи за один час, равно   (  за минуту). Поток вызовов простейший. Найти
а) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины   - интервала времени между двумя последовательными вызовами в потоке;
б) вероятность того, что за   минут поступит:   вызовов; менее   вызовов; не менее   вызовов.
13. Электронное устройство работает в ждущем режиме и переключается очередным импульсом. Поток импульсов является потоком Эрланга  -ого порядка ( ) с интенсивностью   импульс в час. В случайный момент времени устройство включается в сеть и ждет первого очередного импульса. Найти плотность распределения вероятностей времени ожидания очередного импульса и построить ее график. Вычислить вероятность того, что устройство останется в ждущем режиме не более   минут. Ответ дать с тремя десятичными знаками.
Указание. Плотность распределения времени ожидания первого очередного события для потока Эрланга  -ого порядка имеет вид  ,  , где   - интенсивность простейшего потока, из которого получен поток Эрланга  -ого порядка.
23. Задана матрица  вероятностей перехода дискретной цепи Маркова за один шаг. Распределение вероятностей по состояниям в начальный момент определяется вектором  . Построить размеченный граф состояний. Найти: 1) матрицу   переходов цепи за два шага; 2) распределение вероятностей по состояниям в конце второго шага; 3) вероятность пребывания цепи в третьем состоянии в конце первого шага; 4) стационарное распределение вероятностей.
33. Задана матрица интенсивностей переходов непрерывной цепи Маркова. Построить размеченный граф состояний. Провести классификацию состояний системы. Найти стационарное распределение вероятностей, если оно существует.
43. В компьютерном зале   персональных компьютеров. Зал эксплуатируется 12 часов в сутки. Интенсивность потока отказов одного компьютера равна   компьютеров в сутки. Время восстановления одного компьютера одним мастером в среднем составляет   часа. Все потоки простейшие. Определить оптимальное число обслуживающих зал мастеров по ремонту, если производительность зала оценивается по формуле, где  - число персональных компьютеров,  - среднее число неисправных компьютеров.
53. В отделе   телефонных аппарата. Среднее число поступающих в отдел вызовов равно   вызовов в час. Входной поток простейший. Время переговоров распределено по показательному закону и в среднем составляет   минут. Определить: 1) вероятность отказа в переговорах; 2) абсолютную пропускную способность системы; 3) относительную пропускную способность; 4) среднее число занятых аппаратов; 5) коэффициент загрузки оборудования. Как изменятся эти показатели работы системы, если в отделе добавить еще один аппарат? Сколько аппаратов необходимо добавить, чтобы отказ получали не более 10% вызовов?
63. Разработчик СМО располагает двумя каналами обслуживания. Интенсивность обслуживания одним каналом   заявок в час. Время обслуживания распределено по показательному закону. Входящий поток заявок простейший с интенсивностью   заявок в час. Возможны два варианта проекта: вариант 1 – две независимо работающих одноканальных безотказных СМО ; вариант 2 – одна двухканальная безотказная СМО . Провести сравнительный анализ вариантов по следующим показателям эффективности: среднее число занятых каналов; средняя длина очереди; среднее время пребывания заявки в системе.
Провести аналогичный сравнительных анализ в том случае, если при тех же условиях разработчик располагает средствами для организации   мест в очереди для ожидания обслуживания. Рассмотреть два варианта: вариант 3 – две независимо работающих одноканальных СМО ; вариант 4 – одна двухканальная СМО .
73. В двухканальную систему массового обслуживания (СМО) с отказами поступает стационарный пуассоновский поток заявок с интенсивностью   заявок в минуту. Длительность обслуживания каждой заявки равна ( ) минут, где   – непрерывная случайная величина, закон распределения которой неизвестен. Статистическое распределение выборки   объема   имеет вид
Таблица 2
,мин
[0; 0,1)    [0,1; 0,2)    [0,2; 0,3)    [0,3; 0,4)    [0,4; 0,5)

10    25    35    15    15
Вновь прибывшая заявка занимает свободный канал с меньшим номером. При занятости всех каналов заявка покидает СМО необслуженной. Требуется: 1) построить эмпирическую функцию распределения случайной величины; 2) методом обратных функций смоделировать входящий поток и поток обслуживания; 3) смоделировать работу СМО методом Монте-Карло; 4) по результатам трех испытаний найти среднее число обслуженных заявок за время; 5) к одному из испытаний (любому) построить временные диаграммы работы СМО.